英語
範囲：共通（リスニング含む）100分／200点
仮定法
| 仮定法過去 | If S 過去形(be→were), S would/could/might V原形 …現在の事実に反する |
|---|---|
| 仮定法過去完了 | If S had p.p., S would have p.p. …過去の事実に反する |
| 混合型 | If S had p.p.（過去）, S would V（now） 主節に now / today があれば混合型 |
| 未来の仮定 | If S should V（万一）→ 主節は命令文・will も可／If S were to V（仮に） |
| if の省略→倒置 | Were S … / Had S p.p. … / Should S V … |
| if の代用 | Without / But for ～ = If it were not for ～（過去：If it had not been for） otherwise（さもなければ）／ With ～／ To hear him talk（不定詞）／ 主語に仮定（A wise man would ～） |
| 定型 | I wish S 過去形 / had p.p. ｜ as if S 過去形 ｜ It is (high/about) time S 過去形 ｜ If only ～! 提案・要求（suggest, demand, insist, require, It is essential that…）→ that S (should) V原形 |
強調構文・倒置
| 強調構文 | It is A that ～ …It is と that を取り除いて文が成立 → 強調構文（形式主語なら成立しない） 疑問詞の強調：What is it that ～? |
|---|---|
| 否定語文頭 | Never / Little / Seldom / Not only / Not until ～ + 疑問文の語順 Hardly [Scarcely] had S p.p. when [before] ～ ＝ No sooner had S p.p. than ～（～するとすぐ） Not until ～ did S V ＝ It was not until ～ that S V（～して初めて） |
| Only / So | Only + 副詞(句・節) + 倒置 ｜ So 形容詞 is S that ～ ｜ So do I（私も）／ Neither [Nor] do I（私も～ない） |
| CVS 倒置 | Happy is the man who ～ ｜ 場所句 + V + S（Here comes the bus. ※代名詞は Here it comes.） |
時制・準動詞
| 時・条件の副詞節 | when / if / until / by the time / as soon as ～ の中は未来でも現在形 名詞節の if（～かどうか）・when（いつ）は will を使う |
|---|---|
| 完了形 | By the time S 現在形, S will have p.p. ｜ 過去の一時点より前 → had p.p.（大過去） 明確な過去を示す語（yesterday, ago, When ～?）は現在完了と併用不可 |
| to V と Ving で意味が変わる | remember / forget / regret to V（これから）／ Ving（過去にしたこと） stop Ving（～をやめる）／ stop to V（～するために立ち止まる） try to V（しようとする）／ try Ving（試しにやってみる） need Ving ＝ need to be p.p.（～される必要がある） |
| 動名詞のみ | megafeps：mind, enjoy, give up, avoid, finish, escape, put off, stop ＋ admit, deny, consider, practice, suggest |
| 不定詞のみ | want, hope, decide, expect, promise, refuse, manage, pretend, afford, fail |
| 使役・知覚 | make / let / have O V原形 ｜ get O to V ｜ see / hear O V / Ving / p.p. 受動態では to が復活：He was made to work. / He was seen to enter. |
| 分詞構文 | 主語が異なれば残す（独立分詞構文）：The weather being fine, ～ 慣用：Generally speaking / Judging from / Considering / Given ～（～を考慮すると） with O C：with his eyes closed（目を閉じて）／ with the engine running |
比較・関係詞
| the 比較級 | The 比較級 S V, the 比較級 S V（～すればするほど…） |
|---|---|
| no/not + 比較 | no more than ＝ only（～しか） ｜ no less than ＝ as much as（～も） not more than ＝ at most ｜ not less than ＝ at least A is no more B than C is D（クジラ構文：AがBでないのはCがDでないのと同じ） |
| 最上級相当 | No other ～ is as [so] 原級 as A ／ No other ～ is 比較級 than A ／ A is 比較級 than any other 単数名詞 |
| 比較級の強調 | much, far, even, still, a lot（× very） |
| 関係詞 | what ＝ the thing(s) which（先行詞を含む） 前置詞 + which ＝ 関係副詞（in which = where） , which は前の文全体も先行詞にできる ｜ that は非制限用法・前置詞の後ろに不可 複合関係詞：whatever = no matter what, however + 形容詞 + S V（どんなに～でも） |
語法（正誤・整序頻出）
| 自動詞・他動詞 | lie - lay - lain（横たわる・自）／ lay - laid - laid（横たえる・他） rise（上がる・自）／ raise（上げる・他） |
|---|---|
| 前置詞不要の他動詞 | discuss, marry, enter, approach, resemble, reach, attend, mention, answer, obey × discuss about ／ × marry with ／ × enter into the room |
| V A of B | rob / deprive A of B（AからBを奪う）｜ remind / inform A of B ｜ cure A of B steal B from A（物が目的語） |
| V A from Ving | prevent / keep / stop / prohibit A from Ving（Aが～するのを妨げる） |
| V A for B | blame A for B ＝ blame B on A ｜ thank A for B ｜ praise / punish A for B |
| V A with B | provide / supply / present A with B ＝ provide B for A |
| 不可算名詞 | advice, information, furniture, baggage / luggage, news, homework, equipment, evidence × an advice → a piece of advice ／ × many furnitures |
| 紛らわしい形容詞 | considerable（かなりの）／ considerate（思いやりのある）｜ sensible（分別ある）／ sensitive（敏感な） imaginable / imaginative（想像力豊かな）｜ economic（経済の）／ economical（節約的な） respectable（立派な）／ respectful（敬意を示す）／ respective（それぞれの）｜ industrial / industrious（勤勉な） |
| 主語にできない形容詞 | convenient / possible / necessary は人を主語にしない × I am convenient → It is convenient for me |
多義語（長文・語彙で差がつく）
fine罰金・細かい
bill請求書・法案・紙幣
company仲間・同席・会社
subject科目・被験者・臣民・〔be ～ to〕影響を受けやすい
address演説する・取り組む
content中身・満足した
novel小説・斬新な
observe観察する・（規則を）守る・述べる
apply応募する・当てはまる・適用する
matter問題・重要である
account説明・口座・〔for〕説明する/占める
issue問題・（雑誌の）号・発行する
last続く・最も～しそうにない
run経営する
command（言語を）自在に操る力・見渡す
figure数字・人物・〔out〕理解する
patient患者・忍耐強い
well井戸
means手段・財力（単複同形）
otherwiseさもなければ・別の方法で・その他の点で
長文読解：論理マーカー
| 逆接 → 主張 | But / However / Yet / Nevertheless / Still …後ろが筆者の主張 |
|---|---|
| 譲歩 → 逆接 | Of course / Indeed / It is true that / Certainly ～, but …（一般論を認めてから否定） |
| 対比 | not A but B ＝ B, not A ＝ B rather than A ｜ while / whereas（一方）｜ on the other hand ｜ in contrast |
| 言い換え | In other words / That is (to say) / namely / i.e. / コロン「:」・ダッシュ「—」 |
| 因果 | Therefore / Thus / Hence / As a result / Consequently ｜ because of / due to / owing to ｜ lead to / result in（原因→結果）｜ result from（結果←原因） |
| 設問のコツ | 内容一致：本文の言い換えを探す。all / always / never / only など極端な語を含む選択肢は疑う 下線部和訳：構文（SVOC）・指示語・省略の復元を答案に反映 |
会話表現・リスニング
| 定型表現 | Why not?（いいよ）｜ Never mind.（気にしないで）｜ Here you are.（どうぞ）｜ Help yourself.（ご自由に） That's too bad.（お気の毒に）｜ Same here.（私も）｜ Suit yourself.（好きにしたら）｜ I can't help it.（仕方ない） Would you mind ～ing? → 承諾は No, not at all. / Of course not. |
|---|---|
| リスニング | 先に設問と選択肢を読む（誰が／何を／いつ）。But / Actually のあとに答えがくることが多い 数字（fifteen / fifty）、曜日・時刻の変更（"Actually, let's make it ～"）に注意 |
数学III型
範囲：数学I・A（整数のみ）・II・B「数列」・III・C「ベクトル」「平面上の曲線と複素数平面」／120分・200点
※数学Aの「場合の数と確率」「図形の性質」、数学Bの「統計的な推測」は範囲外
三角比・三角関数
| 正弦・余弦定理 | \(\dfrac{a}{\sin A}=2R\) ｜ \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\) ｜ \(S=\tfrac12 bc\sin A\) ｜ \(S=rs\)（\(s\)：半周長） |
|---|---|
| 加法定理 | \(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\) \(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\) \(\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\) |
| 2倍角・半角 | \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\) ｜ \(\cos2\theta=1-2\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1\) \(\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}\)，\(\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}\)（積分で頻出） 3倍角：\(\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\)，\(\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\) |
| 合成 | \(a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)\) （\(\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)） |
| 積→和 | \(\sin\alpha\cos\beta=\tfrac12\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}\) \(\cos\alpha\cos\beta=\tfrac12\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}\)，\(\sin\alpha\sin\beta=-\tfrac12\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}\) |
| 対称式の置換 | \(t=\sin\theta+\cos\theta\) とおくと \(\sin\theta\cos\theta=\dfrac{t^2-1}{2}\)，\(t\) の範囲 \(-\sqrt2\le t\le\sqrt2\) を忘れない |
指数・対数
| 底の変換 | \(\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}\) ｜ \(\log_a b\cdot\log_b a=1\) ｜ \(a^{\log_a M}=M\) |
|---|---|
| 真数・底の条件 | 真数 \(>0\)，底 \(>0\) かつ \(\ne1\)。方程式・不等式では最初に書く 底 \(0<a<1\) のとき不等号の向きが逆転 |
| 桁数・最高位 | \(10^{n-1}\le N<10^n\) ⇔ \(N\) は \(n\) 桁 ｜ \(10^{-n}\le N<10^{-n+1}\) ⇔ 小数第 \(n\) 位に初めて0でない数 \(\log_{10}2\fallingdotseq0.3010,\ \log_{10}3\fallingdotseq0.4771\) |
図形と方程式・2次関数
| 点と直線の距離 | \(d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) |
|---|---|
| 円の接線 | \(x^2+y^2=r^2\) 上の点 \((x_1,y_1)\) での接線：\(x_1x+y_1y=r^2\) |
| 2円の交点を通る図形 | \(f(x,y)+k\,g(x,y)=0\)（\(k=-1\) で共通弦） |
| 軌跡・領域 | 軌跡：動点を \((X,Y)\) とおき媒介変数を消去 → 除外点を確認 通過領域：「\(k\) の方程式が実数解をもつ条件」に帰着（逆像法） |
| 2次方程式の解の配置 | ① 判別式 ② 軸の位置 ③ 端点の符号 の3点セット |
| 解と係数 | \(\alpha+\beta=-\frac ba,\ \alpha\beta=\frac ca\) ｜ 3次：\(\alpha+\beta+\gamma=-\frac ba,\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac ca,\ \alpha\beta\gamma=-\frac da\) |
| 剰余の定理 | \(P(x)\) を \(x-a\) で割った余り \(=P(a)\) ｜ 2次式で割った余りは \(ax+b\) とおく |
整数（数学A）
| ユークリッドの互除法 | \(a=bq+r\) のとき \(\gcd(a,b)=\gcd(b,r)\) ｜ \(\gcd(a,b)\cdot\mathrm{lcm}(a,b)=ab\) |
|---|---|
| 1次不定方程式 | \(ax+by=c\)：特殊解 \((x_0,y_0)\) を1つ見つけ引き算 → \(a(x-x_0)=-b(y-y_0)\) \(\gcd(a,b)=1\) なら \(x=x_0+bk,\ y=y_0-ak\)（\(k\) 整数） |
| 約数 | \(N=p^aq^br^c\) の約数の個数 \((a+1)(b+1)(c+1)\)，総和 \((1+p+\dots+p^a)(1+q+\dots)(\dots)\) |
| 合同式 | \(a\equiv b\ (\mathrm{mod}\ m)\) なら和・差・積・累乗OK。割り算は \(m\) と互いに素なときのみ |
| 平方数の余り | \(n^2\) を 3 で割ると 0,1 ｜ 4 で割ると 0,1 ｜ 8 で割ると 0,1,4（奇数²≡1） |
| 連続整数の積 | 連続 \(k\) 整数の積は \(k!\) の倍数（\(n(n+1)(n+2)\) は6の倍数） |
| 方針 | ① 積の形に因数分解（約数の組）② 不等式で範囲を絞る ③ 余りで分類 ｜ 背理法で「無理数」「無限にある」を示す n進法：\(abc_{(n)}=an^2+bn+c\) |
数列（数学B）
| 和の公式 | \(\sum k=\frac12 n(n+1)\) ｜ \(\sum k^2=\frac16 n(n+1)(2n+1)\) ｜ \(\sum k^3=\left\{\frac12 n(n+1)\right\}^2\) 等比：\(S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\)（\(r\ne1\)） |
|---|---|
| \(S_n\) から \(a_n\) | \(a_1=S_1\)，\(n\ge2\) で \(a_n=S_n-S_{n-1}\) \(n=1\) で成り立つか確認 |
| 階差数列 | \(a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\)（\(n\ge2\)） |
| (等差)×(等比)の和 | \(S-rS\) を計算 |
| 分数の和 | 部分分数分解 \(\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}\) で打ち消し合い |
| 漸化式の型 |
|
| 数学的帰納法 | \(n=1\) ／「\(n=k\) で成立 ⇒ \(n=k+1\) で成立」。2つ前まで使う型は \(n=1,2\) を確認 |
ベクトル（数学C）
| 分点 | AB を \(m:n\) に内分：\(\dfrac{n\vec a+m\vec b}{m+n}\)（外分は \(n\to-n\)）｜ 重心 \(\dfrac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}\) |
|---|---|
| 内積 | \(\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=a_1b_1+a_2b_2(+a_3b_3)\) ｜ 垂直 ⇔ \(\vec a\cdot\vec b=0\) |
| 三角形の面積 | \(S=\tfrac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}=\tfrac12|a_1b_2-a_2b_1|\) |
| 同一直線・平面 | P が直線 AB 上 ⇔ \(\vec p=s\vec a+t\vec b,\ s+t=1\) P が平面 ABC 上 ⇔ \(\vec p=s\vec a+t\vec b+u\vec c,\ s+t+u=1\) \(s,t\ge0\) を加えると線分・三角形の内部 |
| 交点の求め方 | 2通りに表して係数比較（\(\vec a,\vec b\) が1次独立であることを明記） |
| 直線・平面 | 直線 \(\vec p=\vec a+t\vec d\) ｜ 平面 \(a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\)（法線 \((a,b,c)\)） 点と平面の距離 \(\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) ｜ 球 \(|\vec p-\vec c|=r\) |
| 垂線の足 | H を直線（平面）上におき、\(\overrightarrow{PH}\) と方向ベクトル（2本）の内積 \(=0\) |
2次曲線・媒介変数・極座標（数学C）
| 曲線 | 覚えること |
|---|---|
| 放物線 | \(y^2=4px\)：焦点 \((p,0)\)，準線 \(x=-p\) （焦点までの距離＝準線までの距離） 接線：\(y_1y=2p(x+x_1)\) |
| 楕円 | \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)\)：焦点 \((\pm\sqrt{a^2-b^2},0)\)，2焦点からの距離の和 \(=2a\) 接線：\(\dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1\) ｜ 媒介変数：\((a\cos\theta,b\sin\theta)\) ｜ 面積 \(\pi ab\) |
| 双曲線 | \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)：焦点 \((\pm\sqrt{a^2+b^2},0)\)，距離の差の絶対値 \(=2a\) 漸近線 \(y=\pm\dfrac bax\) ｜ 接線 \(\dfrac{x_1x}{a^2}-\dfrac{y_1y}{b^2}=1\) ｜ 媒介変数 \(\left(\dfrac{a}{\cos\theta},b\tan\theta\right)\) \(=-1\) のときは焦点が \(y\) 軸上 |
| 離心率 | \(\dfrac{\text{焦点までの距離}}{\text{準線までの距離}}=e\)：\(0<e<1\) 楕円，\(e=1\) 放物線，\(e>1\) 双曲線 |
| サイクロイド | \(x=a(\theta-\sin\theta),\ y=a(1-\cos\theta)\) ｜ 1アーチの長さ \(8a\)，面積 \(3\pi a^2\) |
| 極座標 | \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ r^2=x^2+y^2\) 極方程式の変換：両辺に \(r\) をかけて \(r\cos\theta\to x\) などに置換 |
複素数平面（数学C）
| 極形式 | \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) ｜ 積：絶対値は積，偏角は和 ｜ 商：絶対値は商，偏角は差 |
|---|---|
| ド・モアブル | \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\) |
| 共役 | \(z\bar z=|z|^2\) ｜ \(z\) が実数 ⇔ \(\bar z=z\) ｜ 純虚数 ⇔ \(\bar z=-z,\ z\ne0\) |
| 回転 | 点 \(\beta\) を点 \(\alpha\) 中心に \(\theta\) 回転 → \(\gamma-\alpha=(\cos\theta+i\sin\theta)(\beta-\alpha)\) |
| 3点の関係 | \(\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\) が実数 ⇔ 3点一直線 ｜ 純虚数 ⇔ AB⊥AC \(\arg\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\angle\mathrm{BAC}\)（向きつき） |
| 図形 | 円 \(|z-\alpha|=r\) ｜ 垂直二等分線 \(|z-\alpha|=|z-\beta|\) ｜ アポロニウスの円 \(|z-\alpha|=k|z-\beta|\ (k\ne1)\) \(w=\dfrac{1}{z}\) 等の変換：\(z\) を \(w\) で表して条件式に代入 |
| 1の \(n\) 乗根 | \(z^n=1\) の解 \(\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}\)（正 \(n\) 角形の頂点） \(\omega^3=1,\ \omega\ne1\) なら \(\omega^2+\omega+1=0\) |
極限（数学III）
| 重要極限 | \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\) ｜ \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12\) ｜ \(\displaystyle\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e\) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\) ｜ \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}{x}=1\) ｜ \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}=0,\ \lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x}=0\) |
|---|---|
| \(r^n\) の極限 | \(|r|<1\) → 0，\(r=1\) → 1，\(r>1\) → \(\infty\)，\(r\le-1\) → 振動 （収束条件 \(-1<r\le1\)） \(r\) を含む式は \(|r|<1,\ r=1,\ r=-1,\ |r|>1\) で場合分け |
| 無限等比級数 | \(|r|<1\) のとき \(\dfrac{a}{1-r}\) （収束条件：\(a=0\) または \(|r|<1\)） |
| 不定形の処理 | \(\infty-\infty\)：有理化・最高次でくくる ｜ \(\frac{\infty}{\infty}\)：分母の最高次で割る 求めにくい → はさみうち（\(\sin, [x]\) を含む，漸化式 \(|a_{n+1}-\alpha|\le r|a_n-\alpha|\)） |
| 区分求積 | \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\frac kn\right)=\int_0^1f(x)\,dx\) |
| 連続性 | 中間値の定理：\(f(a)f(b)<0\) なら \((a,b)\) に解がある（\(f\) 連続） |
微分（数学III）
| 基本 | \((x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}\) ｜ \((\sin x)'=\cos x\) ｜ \((\cos x)'=-\sin x\) ｜ \((\tan x)'=\dfrac1{\cos^2x}\) \((e^x)'=e^x\) ｜ \((a^x)'=a^x\log a\) ｜ \((\log|x|)'=\dfrac1x\) ｜ \((\log_a x)'=\dfrac1{x\log a}\) |
|---|---|
| 積・商・合成 | \((fg)'=f'g+fg'\) ｜ \(\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}\) ｜ \(\{f(g(x))\}'=f'(g(x))\,g'(x)\) |
| 対数微分・媒介変数 | \(y=x^x\) などは両辺の \(\log\) をとる ｜ \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\) ｜ 陰関数は \(y\) を \(x\) の関数として微分 |
| 接線・法線 | 接線 \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\) ｜ 法線 \(y-f(a)=-\dfrac1{f'(a)}(x-a)\) |
| グラフ | \(f'\)：増減，\(f''\)：凹凸（\(f''>0\) 下に凸）。変曲点は \(f''\) の符号が変わる点 漸近線：\(\lim(f(x)-(ax+b))=0\)，\(a=\lim\frac{f(x)}x,\ b=\lim(f(x)-ax)\) |
| 平均値の定理 | \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\) となる \(c\ (a<c<b)\) が存在（不等式証明・極限で使う） |
| 不等式の証明 | \(f(x)=(\text{左辺})-(\text{右辺})\) の最小値 \(\ge0\)。\(f'\) の符号がわからなければ \(f''\) へ |
| 速度・近似 | 速度 \((\dot x,\dot y)\)，速さ \(\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}\) ｜ 1次近似 \(f(a+h)\fallingdotseq f(a)+f'(a)h\) |
積分（数学III）
| 基本 | \(\int\frac1x\,dx=\log|x|\) ｜ \(\int\tan x\,dx=-\log|\cos x|\) ｜ \(\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log|f(x)|\) \(\int\frac1{\cos^2x}dx=\tan x\) ｜ \(\int e^{ax}dx=\frac1ae^{ax}\) ｜ \(\int\log x\,dx=x\log x-x\) |
|---|---|
| 部分積分 | \(\int f g'\,dx=fg-\int f'g\,dx\) （\(\log\)，多項式を微分する側に） \(\int e^{x}\sin x\,dx\) は2回部分積分して自分自身に戻す |
| 置換積分 | \(\sqrt{a^2-x^2}\) → \(x=a\sin\theta\) ｜ \(\dfrac1{a^2+x^2}\) → \(x=a\tan\theta\) 積分区間も必ず変換 ｜ \(\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{\pi a^2}4\)（円の面積で） |
| 1/6 公式 | \(\displaystyle\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}\) |
| 微分と積分 | \(\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt=f(x)\) ｜ \(\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{a}^{g(x)}f(t)\,dt=f(g(x))\,g'(x)\) \(\int_a^b f(t)dt\) は定数 → \(k\) とおく |
| 対称性 | 奇関数 \(\int_{-a}^af=0\)，偶関数 \(=2\int_0^af\) ｜ \(\int_0^{\frac\pi2}\sin^n x\,dx=\int_0^{\frac\pi2}\cos^nx\,dx\) キング：\(\int_0^af(x)dx=\int_0^af(a-x)dx\) |
| 定積分と不等式 | \(f(x)\le g(x)\) なら \(\int_a^bf\le\int_a^bg\) ｜ \(\sum\frac1k\) の評価は長方形と面積の比較 |
| 体積 | \(x\) 軸回転 \(V=\pi\int_a^b y^2\,dx\) ｜ \(y\) 軸回転 \(V=\pi\int x^2\,dy\)，バウムクーヘン \(V=2\pi\int_a^b x|f(x)|\,dx\) 一般：断面積 \(S(x)\) を求めて \(\int S(x)dx\) 回転体は軸をまたぐとき外側だけ |
| 曲線の長さ | \(L=\int_a^b\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx\) ｜ 媒介変数 \(L=\int\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\) |
| 媒介変数の面積 | \(S=\int y\,dx=\int y(t)\,x'(t)\,dt\)（\(t\) の区間の向きに注意） |
大学オイラーの公式で三角・複素数を一本化
| オイラーの公式 | \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) ｜ \(\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\)，\(\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\) 極形式 \(z=re^{i\theta}\)：積は \(r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\)，ド・モアブルは \((e^{i\theta})^n=e^{in\theta}\) そのもの |
|---|---|
| 加法定理 | \(e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}\) を展開して実部・虚部を比較 → \(\cos(\alpha+\beta),\ \sin(\alpha+\beta)\) が同時に出る |
| n倍角 | \((\cos\theta+i\sin\theta)^3\) を二項展開 → 実部 \(\cos3\theta=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\) 虚部 \(\sin3\theta=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\) |
| 積→和 | \(\cos\alpha\cos\beta=\tfrac14(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})(e^{i\beta}+e^{-i\beta})=\tfrac12\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}\) （展開するだけ） |
| 合成 | \(a\cos\theta+b\sin\theta=\mathrm{Re}\big[(a-bi)e^{i\theta}\big]=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\varphi)\)，\(\varphi=\arg(a+bi)\) |
| 半角くくり出し | \(1+e^{i\theta}=e^{i\theta/2}(e^{-i\theta/2}+e^{i\theta/2})=2\cos\tfrac\theta2\,e^{i\theta/2}\) → \(|1+z|\) や偏角が即座に出る \(1-e^{i\theta}=-2i\sin\tfrac\theta2\,e^{i\theta/2}\) |
| \(\sum\cos k\theta\) | \(\sum_{k=0}^{n-1}e^{ik\theta}=\dfrac{e^{in\theta}-1}{e^{i\theta}-1}=\dfrac{\sin\frac{n\theta}2}{\sin\frac\theta2}e^{i\frac{(n-1)\theta}2}\)（半角くくり出し）→ 実部が \(\sum\cos k\theta\) |
| \(e^{ax}\cos bx\) の積分 | \(\int e^{(a+ib)x}dx=\dfrac{e^{(a+ib)x}}{a+ib}\) の実部・虚部 \(\int e^{ax}\cos bx\,dx=\dfrac{e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)}{a^2+b^2}\)，\(\int e^{ax}\sin bx\,dx=\dfrac{e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)}{a^2+b^2}\) （部分積分2回が不要） |
| 1の \(n\) 乗根 | \(\omega_k=e^{2\pi ik/n}\) ｜ \(x^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}(x-\omega_k)\) ｜ \(\sum_k\omega_k=0\)（\(n\ge2\)） 正三角形 ⇔ \(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma=0\)（\(\omega=e^{2\pi i/3}\)，向きに注意） |
大学線形代数（行列・行列式・外積）
| 2×2 の基本 | \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，\(\det A=ad-bc\)，\(A^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\) 回転 \(R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\)（\(e^{i\theta}\) を掛けるのと同じ）｜ \(R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta)\) |
|---|---|
| 行列式＝面積・体積 | 三角形 \(S=\tfrac12\left|\det(\vec a\ \vec b)\right|=\tfrac12|a_1b_2-a_2b_1|\) 平行六面体 \(V=|\det(\vec a\ \vec b\ \vec c)|=|\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)|\)，四面体はその \(\frac16\) 3点一直線 / 4点同一平面 ⇔ 行列式 \(=0\) ｜ 1次独立 ⇔ \(\det\ne0\) |
| 外積 | \(\vec a\times\vec b=(a_2b_3-a_3b_2,\ a_3b_1-a_1b_3,\ a_1b_2-a_2b_1)\) → 平面の法線ベクトルが一発，\(\triangle\) の面積 \(=\tfrac12|\vec a\times\vec b|\)，2直線の共通垂線の向き 記述では「\(\vec n\cdot\vec a=\vec n\cdot\vec b=0\) を満たす \(\vec n\) の1つ」と書けば安全 |
| クラメルの公式 | \(A\vec x=\vec b\) の解 \(x_i=\dfrac{\det A_i}{\det A}\)（\(A_i\)：第 \(i\) 列を \(\vec b\) に置換）→ 交点の係数計算の検算に |
| ケーリー・ハミルトン | \(A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O\) \(A^n\)：\(x^n\) を \(x^2-(a+d)x+(ad-bc)\) で割った余り \(px+q\) → \(A^n=pA+qE\) |
| 固有値・対角化 | 固有方程式 \(\det(A-\lambda E)=0\) ｜ \(A=PDP^{-1}\) → \(A^n=PD^nP^{-1}\) 固有値の和 \(=\mathrm{tr}A\)，積 \(=\det A\) |
| 漸化式＝行列 | \(\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p&q\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_n\\a_{n-1}\end{pmatrix}\)：固有方程式 ＝ 特性方程式 \(x^2=px+q\) 一般解 \(a_n=C_1\alpha^n+C_2\beta^n\)（重解なら \((C_1+C_2n)\alpha^n\)）→ 初項2つで \(C_1,C_2\) を決めるだけ 連立漸化式 \(a_{n+1}=pa_n+qb_n,\ b_{n+1}=ra_n+sb_n\) も同じ（固有値で等比数列に分解） |
| 2次形式 | \(ax^2+2bxy+cy^2=\vec x^{\,T}\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\vec x\)：固有値 \(\lambda_1,\lambda_2\) で 回転して \(\lambda_1X^2+\lambda_2Y^2\) \(x^2+y^2=1\) 上での最大・最小 ＝ 最大・最小固有値 ｜ \(\det>0\) 楕円型，\(<0\) 双曲線型 回転角：\(\tan2\theta=\dfrac{2b}{a-c}\) |
| 1次変換の像 | 直線は直線へ（\(\det\ne0\)）｜ 面積は \(|\det A|\) 倍 ｜ 円 → 楕円（面積 \(\pi r^2|\det A|\)） |
大学テイラー展開で極限・近似を瞬殺
| マクローリン展開 | \(e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\cdots\) ｜ \(\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}-\cdots\) ｜ \(\cos x=1-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^4}{24}-\cdots\) \(\log(1+x)=x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\cdots\) ｜ \((1+x)^\alpha=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}2x^2+\cdots\) ｜ \(\tan x=x+\dfrac{x^3}3+\cdots\) |
|---|---|
| 極限の検算 | \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac16\)，\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac12\)，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac an\right)^n=e^a\) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\left(\sqrt[n]{a}-1\right)=\log a\)（\(a^{1/n}=e^{\frac{\log a}n}\) を展開） |
| ロピタルの定理 | \(\frac00,\frac\infty\infty\) 型で \(\lim\dfrac fg=\lim\dfrac{f'}{g'}\) 記述答案では使わない（減点リスク）→ 答えの検算・方針決定に使う |
| 無限級数（知識） | \(\sum\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6\) ｜ \(1-\frac12+\frac13-\cdots=\log2\)（\(\log(1+x)\) に \(x=1\)）｜ \(\sum\frac1n\) は発散（\(\sim\log n\)） |
| 2変数の極値 | ラグランジュの未定乗数法：条件 \(g=0\) の下で \(f\) の極値 → \(\nabla f=\lambda\nabla g\)（候補点の検算用） |
大学積分の強力な道具
| ベータ関数型 | \(\displaystyle\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^m(\beta-x)^n\,dx=\frac{m!\,n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}\) \(m=n=1\)：\(\frac16\) 公式 ｜ \((m,n)=(2,1)\)：\(\frac1{12}\) 公式（3次関数と接線）｜ \(m=n=2\)：\(\frac1{30}\)（4次関数と複接線） |
|---|---|
| ウォリス積分 | \(I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx\)：\(I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}\)，\(I_0=\frac\pi2,\ I_1=1\) 例 \(I_4=\frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2=\frac{3\pi}{16}\)，\(I_5=\frac45\cdot\frac23=\frac8{15}\) |
| パップス・ギュルダン | 回転体の体積 \(V=S\times2\pi r_G\)（\(S\)：図形の面積，\(r_G\)：重心と軸の距離） トーラス：\(V=\pi a^2\cdot2\pi R=2\pi^2Ra^2\) ｜ 表面積 \(=L\times2\pi r_G\) 図形が軸をまたがないこと。記述では検算用 |
| \(\arctan\) の知識 | \(\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac1a\arctan\frac xa\)，\(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac xa\) → \(x=a\tan\theta\) 置換の結果が即わかる |
| \(t=\tan\frac x2\) 置換 | \(\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2},\ \cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\ dx=\dfrac{2\,dt}{1+t^2}\)（三角関数の有理式は必ず解ける） |
| 極座標の面積 | \(S=\dfrac12\displaystyle\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta\) ｜ 曲線の長さ \(L=\displaystyle\int\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}d\theta\) |
| 微分方程式 | \(y'=ky\) → \(y=Ce^{kx}\) ｜ 変数分離 \(\dfrac{dy}{g(y)}=f(x)dx\) を両辺積分 \(y'+p(x)y=q(x)\)：両辺に \(e^{\int p\,dx}\) を掛ける（積分因子） |
| 知識 | ガウス積分 \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi\) ｜ \(\int_0^\infty x^ne^{-x}dx=n!\)（ガンマ関数） |
大学初等整数論
| フェルマーの小定理 | \(p\) 素数，\(p\nmid a\) → \(a^{p-1}\equiv1\pmod p\) ｜ 大きな累乗の余りに |
|---|---|
| オイラーの定理 | \(\gcd(a,n)=1\) → \(a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n\)，\(\varphi(n)=n\prod_{p\mid n}\left(1-\frac1p\right)\)（例 \(\varphi(100)=40\)） |
| 中国剰余定理 | \(m,n\) 互いに素なら「\(x\equiv a\ (\mathrm{mod}\ m),\ x\equiv b\ (\mathrm{mod}\ n)\)」は mod \(mn\) でただ1つの解 |
| 拡張ユークリッド | 互除法を逆にたどると \(ax+by=\gcd(a,b)\) の特殊解（＝ mod での逆元） |
| ルジャンドルの公式 | \(n!\) に含まれる素因数 \(p\) の個数 \(=\left\lfloor\frac np\right\rfloor+\left\lfloor\frac n{p^2}\right\rfloor+\cdots\)（末尾の0の個数：\(p=5\)） |
| その他 | \(p\) 素数なら \(p\mid\binom pk\ (1\le k\le p-1)\) ｜ ウィルソン \((p-1)!\equiv-1\pmod p\) |
大学の定理は方針決定・検算用です。記述答案では、ロピタル・パップスなどは結論だけ使うと減点されることがあるため、高校範囲の言葉で書き直しましょう（オイラーの公式は「\(\cos\theta+i\sin\theta\) の積＝偏角の和」、行列は成分計算として書けば高校範囲の答案になります）。
国語
範囲：現・古・漢型（現代文2題・古文1題・漢文1題）／100分・200点
現代文 評論キーワード
恣意的必然性がなく勝手なさま
相対化絶対視せず他と比べて見直す
二項対立自然/文化、主体/客体など対の枠組み
表象イメージとして表したもの
言説ある時代・社会で語られる言葉の総体
パラダイムある時代の支配的な認識の枠組み
普遍 / 特殊すべてに当てはまる / 個別的
形而上 / 形而下抽象的・観念的 / 具体的・物質的
逆説一見矛盾するが真理を含む
アイロニー皮肉・反語
捨象抽象する際に切り捨てる
敷衍わかりやすく詳しく述べる
止揚対立を高次で統一（アウフヘーベン）
蓋然性確からしさの度合い
所与前提として与えられたもの
自明説明不要なほど明らか
アイデンティティ自己同一性
近代理性・個人・科学・進歩を重視
通時 / 共時時間の流れで / ある一時点で
身体性頭でなく身体を通した経験
現代文の解法
| 傍線部説明 | ① 傍線部を要素に分解 ② 各要素を本文の言葉で言い換え ③ 指示語の中身を補う ④ 比喩は一般化 |
|---|---|
| 理由説明 | 「A だから B」の A を本文から。傍線部との論理のつながり（飛躍がないか）を確認 |
| 対比構造 | 「しかし」「一方」「〜ではなく」で対になる語を整理。筆者の主張は A ではなく B の B 側 |
| 選択肢 | 本文に書いていない因果・言い過ぎ（すべて・必ず）・主客逆転・部分的に正しいだけ、を切る |
| 小説 | 心情は きっかけ（出来事）→ 心情 → 行動・表情 の3点で読む。語り手の視点と時間の移動に注意 |
古文 助動詞（接続別）
| 接続 | 助動詞と意味 |
|---|---|
| 未然形 | る・らる：受身・尊敬・自発・可能（自発は心情語、可能は打消を伴うことが多い） す・さす・しむ：使役・尊敬（尊敬語とセット「せ給ふ」→ 多くは尊敬） ず：打消 ｜ じ：打消推量・打消意志 ｜ まほし：希望 む・むず：推量・意志・勧誘・適当・仮定・婉曲（スイカカエテ） → 主語1人称＝意志，2人称＝勧誘・適当，3人称＝推量，文中の連体形＝仮定・婉曲 まし：反実仮想（ましかば〜まし）・ためらいの意志（疑問語＋まし） |
| 連用形 | き：直接過去（せ・○・き・し・しか・○） ｜ けり：間接過去・詠嘆（和歌・会話） つ・ぬ：完了・強意（つべし・ぬべし・てむ・なむ＝強意） ｜ たり（完了）：完了・存続 けむ：過去推量・過去の原因推量・過去の伝聞婉曲 ｜ たし：希望 |
| 終止形 （ラ変型は連体形） | べし：推量・意志・可能・当然・命令・適当（スイカトメテ） ｜ まじ：その打消 らむ：現在推量・現在の原因推量・伝聞婉曲 ｜ らし：推定（根拠あり） めり：推定（視覚）・婉曲 ｜ なり（伝聞推定）：伝聞・推定（聴覚） |
| 連体形・体言 | なり（断定）：断定・存在（場所＋なる＝「〜にある」） ｜ たり（断定）：断定 ｜ ごとし：比況・例示 |
| サ未・四已 | り：完了・存続（さみしいリカちゃん：サ変未然・四段已然＝e段音に付く） |
識別（最頻出）
| 語 | 見分け方 |
|---|---|
| なむ | 未然形＋なむ → 願望の終助詞（〜してほしい） 連用形＋なむ → 完了（強意）ぬ未然＋推量む（きっと〜だろう） 体言・連体形等＋なむ（文末連体形）→ 係助詞（強意）｜ 死な・往な＋む → ナ変＋む |
| ぬ／ね | 未然形＋ぬ → 打消「ず」の連体形 ｜ 連用形＋ぬ → 完了「ぬ」の終止形 未然形＋ね → 「ず」の已然形 ｜ 連用形＋ね → 「ぬ」の命令形 上二・下二段は未然＝連用で同形 → 下の語・係り結びで判定 |
| に | 連用形＋に＋き・けり・たり・けむ → 完了「ぬ」連用形 体言・連体形＋に＋あり（侍り・おはす）→ 断定「なり」連用形（〜で） その他：格助詞／接続助詞（連体形＋に、〜ので・のに）／形容動詞語尾（静かに）／副詞の一部（げに・すでに）／ナ変語尾（死に） |
| なり | 終止形（ラ変は連体形）＋なり、音・声の文脈 → 伝聞推定 体言・連体形＋なり → 断定 ｜ 「〜かなり」「〜げなり」等 → 形容動詞語尾 ｜ 四段「成る」 |
| る・れ | a段音＋る・れ → 受身等の「る」 ｜ e段音＋る・れ → 完了「り」 |
| らむ | u段（終止形）＋らむ → 現在推量 ｜ e段＋ら＋む → 完了「り」未然＋推量「む」 |
| し | 連用形＋し（連体形）→ 過去「き」 ｜ サ変連用形「し」 ｜ 強意の副助詞（取り除いても意味が通る） |
| せ | 未然形＋せ＋給ふ → 使役・尊敬「す」 ｜ せば〜まし → 過去「き」未然形 ｜ サ変未然形 |
| 係り結び | ぞ・なむ・や・か → 連体形 ｜ こそ → 已然形 ｜ 「こそ〜已然形、」で逆接 |
敬語
| 敬意の方向 | 誰から：地の文＝作者（語り手）、会話文＝話し手、手紙＝書き手 誰へ：尊敬語→動作の主体、謙譲語→動作の客体（受け手）、丁寧語→聞き手・読み手 |
|---|---|
| 尊敬語 | のたまふ・仰す（言ふ）｜ おぼす・おぼしめす（思ふ）｜ おはす・おはします（あり・行く・来） 御覧ず（見る）｜ きこしめす（聞く・食ふ・治む）｜ 大殿籠る（寝）｜ たまふ［四段］・たまはす（与ふ）｜ あそばす（す） |
| 謙譲語 | 申す・聞こゆ・聞こえさす（言ふ）｜ 奏す（天皇へ）・啓す（中宮・東宮へ） 参る・まうづ（行く・来）｜ まかる・まかづ（退出する）｜ たまはる・承る（受く・聞く） 参らす・奉る（与ふ）｜ 侍り・候ふ（お仕えする＝謙譲の本動詞） |
| 丁寧語 | 侍り・候ふ（あり・をり の丁寧／補助動詞「〜です・ます」） |
| 注意が必要な語 | たまふ：四段＝尊敬、下二段＝謙譲（会話・手紙で「思ふ・見る・聞く・知る」＋たまふる、主語は一人称） 奉る・参る：「召し上がる・お召しになる」の尊敬用法あり 最高敬語（せ給ふ・させ給ふ・おぼしめす）→ 地の文なら主語は天皇・中宮クラス |
| 主語の判定 | 敬語の有無で人物を区別、接続助詞「を・に・ど・ば」の後は主語が変わりやすい、「て」の前後は同じ主語が多い |
重要古語
ありがたしめったにない
あさまし驚きあきれる
いみじ程度がはなはだしい
うつくしかわいい
おどろくはっと気づく・目を覚ます
かなしいとしい・かわいい
ながむ物思いにふける
なつかし心ひかれる
ののしる大騒ぎする・評判になる
やがてそのまま・すぐに
ゆかし見たい・知りたい
心もとなし待ち遠しい・不安だ
うしろめたし気がかりだ
さうざうし物足りない
つれづれなり退屈だ・手持ちぶさた
まめなり誠実だ・実用的だ
あやし不思議だ・身分が低い
めでたしすばらしい
ことわり道理
本意（ほい）かねての願い（出家）
世・世の中男女の仲
かたち容貌
いと〜打消たいして〜ない
え〜打消〜できない
な〜そ〜するな（禁止）
よも〜じまさか〜ないだろう
さらに〜打消まったく〜ない
ゆめ〜な決して〜するな
和歌の修辞
| 掛詞 | まつ（松/待つ）｜ ながめ（長雨/眺め）｜ ふる（降る/経る/古る）｜ あき（秋/飽き）｜ よ（夜/世/節）｜ おもひ（思ひ/火）｜ かれ（枯れ/離れ）｜ うき（憂き/浮き）｜ みをつくし（澪標/身を尽くし） |
|---|---|
| その他 | 枕詞（あしひきの→山，ひさかたの→光・天，たらちねの→母，ぬばたまの→黒・夜）｜ 序詞（7音以上で導く）｜ 縁語（関連語のグループ）｜ 本歌取り |
| 句切れ | 終止形・命令形・終助詞・係り結びの結びで切れる |
漢文 句法
| 再読文字 | 未（いまダ〜ず）｜ 将・且（まさニ〜ントす）｜ 当（まさニ〜ベシ：当然）｜ 応（まさニ〜ベシ：推量） 宜（よろシク〜ベシ）｜ 須（すべかラク〜ベシ）｜ 猶・由（なホ〜ノ・ガごとシ）｜ 盍（なんゾ〜ざル＝何不） |
|---|---|
| 否定 | 不・弗（ず）｜ 無・莫・勿・毋（なシ／なカレ）｜ 非（あらズ） 二重否定：無不〜（〜ざルハなシ）｜ 非不〜（〜ざルニあらズ）｜ 不敢不〜（あヘテ〜ずンバアラず） 部分否定：不常〜（つねニハ〜ず）⇔ 全部否定：常不〜（つねニ〜ず） 不必〜（かならズシモ〜ず）｜ 不復〜（まタ〜ず：二度とは〜ない） |
| 疑問・反語 | 何・安・焉・悪・誰・孰・豈 ＋ 乎・哉・也・与・邪 反語は読みの末尾が 「〜ン（や）」：豈〜哉（あニ〜ンや）｜ 何〜為（なんすレゾ〜）｜ 安〜乎（いづクンゾ〜ンや） 何以（なにヲもつテ：手段・理由）｜ 如何（いかんセン：処置）｜ 何如（いかん：状態） |
| 使役 | 使・令・教・遣 A B（Aヲシテ B(セ)しム）｜ 命 A B（Aニ命ジテBセしム） |
| 受身 | 見・被・為・所（る・らル）｜ 為 A 所 B（AノBスル所ト為ル）｜ B 於 A（AニBセらル） |
| 比較・選択 | A 於 B（Bヨリ（モ）A）｜ 莫 A 於 B（BヨリAナルハなシ＝最上級）｜ 不如 B（Bニしカず） 寧 A 無 B（むしロAトモBスルなカレ）｜ 与其 A 寧 B（そノAセンよリハむしロBセヨ） |
| 限定・累加 | 唯・惟・只・但・徒・独（たダ〜ノミ）｜ 文末 耳・已・爾・而已（のみ） 累加：不唯 A 而亦 B（たダニAノミナラず、まタB）｜ 豈唯 A 哉（あニたダニAノミナランや） |
| 抑揚 | A 且 B，況 C 乎（Aスラ且ツB、況ンヤCヲや） |
| 仮定 | 如・若（もシ）｜ 苟（いやシクモ）｜ 縦（たとヒ〜トモ）｜ 雖（〜トいへどモ） |
| 詠嘆・願望 | 嗚呼（ああ）｜ 〜哉（かな）｜ 何其〜也（なんゾそレ〜や）｜ 請・願（こフ・ねがハクハ〜ン／セヨ） |
漢文 重要語
所以ゆゑん：理由・手段
以為おもヘラク：思うには
是以ここヲもつテ：だから
故ゆゑニ／もとヨリ（以前から）
須臾しゅゆ：しばらく
対こたフ：目上に答える
蓋けだシ：思うに
数しばしば
具つぶさニ：詳しく
与と／ともニ／あたフ／くみス
為なス・なル・たリ・ためニ
於是ここニおイテ：そこで
自みづかラ／おのづかラ／よリ
已すでニ／やム／のみ
尽ことごとク
卒つひニ／にはカニ
君子 / 小人徳のある人 / 徳のない人
百姓ひゃくせい：人民
物理
範囲：物理基礎・物理（原子を除く）
運動・力
| 等加速度運動 | \(v=v_0+at\) ｜ \(x=v_0t+\tfrac12at^2\) ｜ \(v^2-v_0^2=2ax\) |
|---|---|
| 放物運動 | 水平：等速 ／ 鉛直：加速度 \(-g\) ｜ 最高点で \(v_y=0\) |
| 運動方程式 | \(ma=F\)（物体ごとに、運動方向を正として立てる） |
| 摩擦 | 静止摩擦 \(f\le\mu N\)（最大静止摩擦 \(\mu N\)）｜ 動摩擦 \(f'=\mu' N\) 垂直抗力 \(N\) は \(mg\) とは限らない（斜面：\(mg\cos\theta\)） |
| 慣性力 | 加速度 \(\vec a\) の観測者から見ると \(-m\vec a\) の力がはたらく |
| 剛体のつりあい | 力のつりあい ＋ 力のモーメントのつりあい（\(M=Fl\)，回転軸は未知の力が多い点に） 重心 \(x_G=\dfrac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}\) |
| 浮力・圧力 | 浮力 \(F=\rho Vg\)（排除した流体の重さ）｜ 水圧 \(p=p_0+\rho gh\) |
| 相対速度 | A から見た B：\(\vec v_B-\vec v_A\) |
エネルギー・運動量
| 仕事 | \(W=Fx\cos\theta\) ｜ 仕事率 \(P=\dfrac Wt=Fv\) |
|---|---|
| エネルギーと仕事 | \(\tfrac12mv^2-\tfrac12mv_0^2=W\)（された仕事） 位置エネルギー：重力 \(mgh\)，弾性 \(\tfrac12kx^2\) ｜ 保存力のみ → 力学的エネルギー保存 摩擦・非弾性衝突があれば保存しない（減少分＝熱） |
| 運動量と力積 | \(m\vec v'-m\vec v=\vec F\Delta t\) ｜ 外力（水平方向など）がなければ 運動量保存 |
| 反発係数 | \(e=-\dfrac{v_1'-v_2'}{v_1-v_2}\) ｜ \(e=1\) 弾性衝突（力学的E保存），\(e=0\) 完全非弾性（一体化） 床との斜め衝突：平行成分は不変，垂直成分が \(e\) 倍 |
| 分裂・合体 | 運動量保存 ＋（エネルギー条件）の連立。重心速度は外力なしで一定 |
円運動・単振動・万有引力
| 等速円運動 | \(v=r\omega\) ｜ \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}\) ｜ 向心加速度 \(a=\dfrac{v^2}r=r\omega^2\) ｜ \(m\dfrac{v^2}{r}=F_\text{中心向き}\) |
|---|---|
| 鉛直面内の円運動 | エネルギー保存で速さ → 中心方向の運動方程式で張力・垂直抗力 一周する条件：最高点で 張力（垂直抗力）\(\ge0\) 棒なら \(v\ge0\) で良い |
| 単振動 | \(a=-\omega^2x\) ｜ \(x=A\sin\omega t\) ｜ \(v_\text{max}=A\omega\) ｜ \(a_\text{max}=A\omega^2\) ばね振り子 \(T=2\pi\sqrt{\dfrac mk}\) ｜ 単振り子 \(T=2\pi\sqrt{\dfrac lg}\) 振動中心＝力のつりあい位置（鉛直ばねでも周期は同じ） |
| 万有引力 | \(F=G\dfrac{Mm}{r^2}\) ｜ 位置エネルギー \(U=-G\dfrac{Mm}{r}\) ｜ 地表で \(GM=gR^2\) 第1宇宙速度 \(\sqrt{gR}\)（約7.9 km/s）｜ 第2宇宙速度 \(\sqrt{2gR}\)（約11.2 km/s） |
| ケプラーの法則 | ① 楕円軌道 ② 面積速度一定 \(\tfrac12 r v\sin\theta=\)一定（近日点・遠日点では \(r_1v_1=r_2v_2\)）③ \(\dfrac{T^2}{a^3}=\)一定 |
熱・気体
| 熱量 | \(Q=mc\Delta T=C\Delta T\) ｜ 熱量保存（高温が失った熱＝低温が得た熱） |
|---|---|
| 状態方程式 | \(pV=nRT\) ｜ ボイル・シャルル \(\dfrac{pV}{T}=\)一定 |
| 分子運動論 | \(pV=\tfrac13Nm\overline{v^2}\) ｜ \(\tfrac12m\overline{v^2}=\tfrac32kT\) ｜ \(\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}\)（\(M\)：kg/mol） |
| 熱力学第1法則 | \(Q=\Delta U+W_\text{した}\) ｜ 単原子分子 \(U=\tfrac32nRT\)（二原子 \(\tfrac52nRT\)） 気体がした仕事 ＝ \(p\)-\(V\) グラフの面積（定圧：\(p\Delta V\)） |
| 変化ごとのまとめ | 定積：\(W=0,\ Q=nC_V\Delta T\) ｜ 定圧：\(Q=nC_p\Delta T\) 等温：\(\Delta U=0,\ Q=W\) ｜ 断熱：\(Q=0,\ W=-\Delta U\)，\(pV^\gamma=\)一定（断熱膨張で温度↓） |
| モル比熱 | 単原子 \(C_V=\tfrac32R,\ C_p=\tfrac52R\) ｜ マイヤー \(C_p=C_V+R\) ｜ \(\gamma=\dfrac{C_p}{C_V}\)（単原子 \(\tfrac53\)） |
| 熱効率 | \(e=\dfrac{W_\text{正味}}{Q_\text{吸収}}=1-\dfrac{Q_\text{放出}}{Q_\text{吸収}}\) 分母は吸収した熱の合計（放出分は引かない） |
波・音
| 基本 | \(v=f\lambda\) ｜ \(T=\dfrac1f\) ｜ \(y=A\sin\dfrac{2\pi}{T}\left(t-\dfrac xv\right)\)（\(+x\) 向き進行，原点で \(y=A\sin\frac{2\pi}Tt\)） |
|---|---|
| 反射 | 自由端：位相そのまま ｜ 固定端：位相 \(\pi\) ずれる（逆位相） |
| 定常波 | 節と節の間隔 \(\dfrac\lambda2\) |
| 弦 | \(v=\sqrt{\dfrac{S}{\rho}}\)（\(S\)：張力，\(\rho\)：線密度）｜ 両端固定 \(\lambda_m=\dfrac{2L}{m}\) |
| 気柱 | 閉管 \(\lambda=\dfrac{4L}{2m-1}\)（奇数倍振動のみ）｜ 開管 \(\lambda=\dfrac{2L}{m}\) 開口端補正：腹は管口の少し外 ｜ 共鳴点の間隔 \(=\dfrac\lambda2\) |
| うなり | \(f=|f_1-f_2|\) |
| ドップラー | \(f'=\dfrac{V-v_o}{V-v_s}f\) （音源→観測者の向きを正として速度を代入） 風があれば \(V\to V+w\) ｜ 反射板は「観測者」→「音源」の2段階 |
| 干渉条件 | 同位相の2波源：経路差 \(=m\lambda\) 強め，\((m+\tfrac12)\lambda\) 弱め（逆位相なら逆） |
光
| 屈折 | \(n_{12}=\dfrac{\sin i}{\sin r}=\dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}=\dfrac{n_2}{n_1}\) （振動数は不変） 全反射 \(\sin\theta_c=\dfrac{n_2}{n_1}\)（\(n_1>n_2\)）｜ 媒質中の波長 \(\lambda/n\)，光路長 \(nL\) |
|---|---|
| レンズ | \(\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac1f\) ｜ 倍率 \(\left|\dfrac ba\right|\)（\(b<0\) で虚像，凹レンズは \(f<0\)） |
| ヤングの実験 | 経路差 \(\dfrac{dx}{L}\) ｜ 明線間隔 \(\Delta x=\dfrac{L\lambda}{d}\) |
| 回折格子 | \(d\sin\theta=m\lambda\)（明線） |
| 反射の位相 | 屈折率 小→大 の境界で反射すると位相 \(\pi\)（固定端）｜ 大→小 では変化なし |
| 薄膜・くさび・ニュートンリング | 光路差 \(2nd\cos r\)（薄膜），\(2d\)（空気層）→ 位相反転が1回なら条件が逆転 くさび：縞の間隔 \(\Delta x=\dfrac{\lambda}{2\tan\theta}\)（空気）｜ ニュートンリング：\(d\fallingdotseq\dfrac{r^2}{2R}\) |
静電気・コンデンサー
| クーロン則 | \(F=k\dfrac{qQ}{r^2}\) ｜ 点電荷 \(E=k\dfrac Q{r^2}\)，\(V=k\dfrac Qr\)（\(V\) はスカラー和） |
|---|---|
| 電場と電位 | 一様電場 \(V=Ed\) ｜ 仕事 \(W=qV\)（電場のする仕事＝\(q\times\) 電位差） ガウスの法則：電気力線の本数 \(=\dfrac{Q}{\varepsilon_0}=4\pi kQ\) |
| コンデンサー | \(Q=CV\) ｜ \(C=\varepsilon\dfrac Sd\) ｜ \(U=\tfrac12CV^2=\tfrac12QV=\dfrac{Q^2}{2C}\) 並列 \(C=C_1+C_2\)（\(V\) 共通）｜ 直列 \(\dfrac1C=\dfrac1{C_1}+\dfrac1{C_2}\)（\(Q\) 共通※初期電荷0） |
| 誘電体・金属 | 誘電体 \(C\to\varepsilon_rC\) ｜ 金属板挿入：厚さ分 \(d\) が減る |
| 回路の解き方 | ① 孤立部分の電気量保存 ② 閉回路の電位の和=0 ｜ スイッチ直後：C は導線，十分時間後：C に電流流れず |
| 極板間引力・仕事 | \(F=\tfrac12QE\) ｜ 電池のした仕事 \(=QV\)，うち半分が静電エネルギー，残りはジュール熱 極板を引き離す：電池接続なら \(V\) 一定，切り離しなら \(Q\) 一定 |
電流・回路
| 基本 | \(V=RI\) ｜ \(R=\rho\dfrac LS\) ｜ \(P=IV=I^2R=\dfrac{V^2}R\) ｜ \(I=enSv\) |
|---|---|
| 合成抵抗 | 直列 \(R_1+R_2\) ｜ 並列 \(\dfrac1R=\dfrac1{R_1}+\dfrac1{R_2}\) |
| キルヒホッフ | 第1：流入＝流出 ｜ 第2：閉回路で 起電力の和 ＝ 電圧降下の和 |
| 電池の内部抵抗 | 端子電圧 \(V=E-rI\) |
| 計器 | 電流計：分流器（並列，小抵抗）｜ 電圧計：倍率器（直列，大抵抗） ホイートストンブリッジ：\(R_1R_4=R_2R_3\) で検流計0 |
| 非線形抵抗 | 電球・ダイオード：回路の式（\(V=E-RI\) 等）と特性曲線の交点を読む |
| 半導体 | n型（電子），p型（ホール）｜ ダイオード：p→n 向きのみ電流 |
電流と磁場・電磁誘導・交流
| 磁場 | 直線電流 \(H=\dfrac I{2\pi r}\) ｜ 円電流中心 \(H=\dfrac I{2r}\) ｜ ソレノイド \(H=nI\) ｜ \(B=\mu H\) 向きは右ねじ |
|---|---|
| 電流が受ける力 | \(F=IBl\)（フレミング左手：中指 電流，人差し指 磁場，親指 力） 平行電流：同じ向き → 引力 |
| ローレンツ力 | \(f=qvB\) ｜ 円運動 \(r=\dfrac{mv}{qB}\)，\(T=\dfrac{2\pi m}{qB}\)（速さによらない） ホール効果：\(qE=qvB\) のつりあい キャリアの符号で電位の高低が逆 |
| 電磁誘導 | \(V=-N\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}\)（レンツ：変化を妨げる向き）｜ 導体棒 \(V=vBl\) 棒の終端速度：力のつりあい \(mg\sin\theta=IBl\)，エネルギー：重力の仕事 → ジュール熱 |
| 自己・相互誘導 | \(V=-L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}\) ｜ \(U=\tfrac12LI^2\) ｜ 相互 \(V_2=-M\dfrac{\Delta I_1}{\Delta t}\) スイッチ直後：コイルは電流を変えない（直前の電流を保つ） |
| 交流 | 実効値 \(V_e=\dfrac{V_0}{\sqrt2}\) ｜ 平均電力 \(\overline P=V_eI_e\)（抵抗のみ） コイル：リアクタンス \(\omega L\)，電流は電圧より \(\frac\pi2\) 遅れる ｜ コンデンサー：\(\dfrac1{\omega C}\)，電流が \(\frac\pi2\) 進む L・C の消費電力 \(=0\) ｜ RLC直列 \(Z=\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac1{\omega C}\right)^2}\) |
| 共振・電気振動 | \(f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\) ｜ 電気振動：\(\tfrac12CV^2+\tfrac12LI^2=\)一定 |
| 変圧器 | \(\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{N_1}{N_2}\) ｜ 理想変圧器 \(V_1I_1=V_2I_2\) |
| 電磁波 | \(c=f\lambda\)：波長の長い順に 電波 → 赤外線 → 可視光 → 紫外線 → X線 → γ線 |
微積力学を微積分で導出
| 運動方程式が全ての出発点 | \(v=\dfrac{dx}{dt},\ a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^2x}{dt^2}\)，\(m\dfrac{d^2x}{dt^2}=F\) \(a\) 一定なら積分して \(v=v_0+at,\ x=v_0t+\tfrac12at^2\)。\(a=v\dfrac{dv}{dx}\) を積分すると \(v^2-v_0^2=2ax\) |
|---|---|
| エネルギー保存の正体 | \(m\dfrac{dv}{dt}=F\) の両辺に \(v\) を掛けて時間積分 → \(\dfrac{d}{dt}\left(\tfrac12mv^2\right)=Fv\) → \(\tfrac12mv^2-\tfrac12mv_0^2=\displaystyle\int F\,dx\)（仕事） |
| ポテンシャル | \(U(x)=-\displaystyle\int F\,dx\)，\(F=-\dfrac{dU}{dx}\) ばね \(-\int(-kx)dx=\tfrac12kx^2\) ｜ 万有引力 \(U(r)=-\displaystyle\int_\infty^r\left(-\frac{GMm}{r^2}\right)dr=-\frac{GMm}r\) |
| 運動量と力積 | \(m\dfrac{dv}{dt}=F\) を時間積分 → \(\Delta p=\displaystyle\int F\,dt\)。2物体の内力は作用反作用で打ち消し → 外力なしで運動量保存 重心：\(M\dfrac{dV_G}{dt}=F_\text{外}\)（内力は重心運動に効かない） |
| 単振動は微分方程式で | \(m\ddot x=-k(x-x_0)\) → \(x=x_0+A\sin(\omega t+\phi)\)，\(\omega=\sqrt{k/m}\) 「加速度 \(=-\omega^2\)(変位)」の形にすれば中心 \(x_0\) と \(\omega\) が一発で読める（鉛直ばね・浮力・電場中なども同じ） |
| 微小振動の周期 | \(U(x)\) の極小点 \(x_0\) のまわり：\(U\approx U(x_0)+\tfrac12U''(x_0)(x-x_0)^2\) → \(\omega^2=\dfrac{U''(x_0)}{m}\) 単振り子：\(\sin\theta\approx\theta\) で \(ml\ddot\theta=-mg\theta\) → \(T=2\pi\sqrt{l/g}\) |
| 速度に比例する抵抗 | \(m\dfrac{dv}{dt}=mg-kv\) → 変数分離 → \(v=\dfrac{mg}k\left(1-e^{-\frac kmt}\right)\)，終端速度 \(\dfrac{mg}k\)（\(\dot v=0\) とおけば即） |
| 円運動を複素数で | 位置 \(z=re^{i\omega t}\) → \(\dot z=i\omega z\)（速さ \(r\omega\)，接線方向）→ \(\ddot z=-\omega^2z\)（中心向き \(r\omega^2\)） 非等速円運動：接線 \(\dfrac{dv}{dt}\)，法線 \(\dfrac{v^2}r\) |
| 角運動量 | \(L=mr^2\dot\theta=mrv_\perp\)。中心力なら \(\dfrac{dL}{dt}=0\) → 面積速度 \(\tfrac12r^2\dot\theta=\dfrac{L}{2m}\) 一定（ケプラー第2法則） |
| 楕円軌道 | 力学的エネルギー \(E=-\dfrac{GMm}{2a}\)（\(a\)：長半径）｜ 近日点・遠日点：\(r_1v_1=r_2v_2\) と エネルギー保存 の連立 脱出条件 \(E\ge0\) → \(v\ge\sqrt{2GM/R}\) |
微積熱力学を微積分で導出
| 仕事 | \(W=\displaystyle\int_{V_1}^{V_2}p\,dV\) ｜ 等温：\(W=nRT\displaystyle\int\frac{dV}V=nRT\log\frac{V_2}{V_1}\) |
|---|---|
| マイヤーの関係 | 定圧で \(p\,dV=nR\,dT\) → \(nC_pdT=nC_VdT+nRdT\) → \(C_p=C_V+R\) |
| 断熱の式の導出 | \(dQ=0\)：\(nC_VdT+p\,dV=0\)，\(p=\dfrac{nRT}V\) を代入 → \(C_V\dfrac{dT}T+R\dfrac{dV}V=0\) 積分 → \(TV^{R/C_V}=\)一定 → \(pV^\gamma=\)一定（\(\gamma=1+\frac R{C_V}\)） 断熱の仕事：\(W=-\Delta U=nC_V(T_1-T_2)\) |
| 分子運動論の導出 | 1回の衝突で壁に力積 \(2mv_x\)，衝突頻度 \(\dfrac{v_x}{2L}\) → 力 \(\dfrac{mv_x^2}L\) \(N\) 個・\(\overline{v_x^2}=\frac13\overline{v^2}\) → \(p=\dfrac{Nm\overline{v^2}}{3V}\) → \(pV=nRT\) と比較して \(\tfrac12m\overline{v^2}=\tfrac32kT\) |
| p-V グラフ | サイクルの正味の仕事 ＝ 囲む面積（時計回りで正）｜ 熱の出入りは各過程で \(Q=\Delta U+W\) を個別に計算 カルノー効率 \(1-\dfrac{T_L}{T_H}\) が上限（知識） |
微積波を式で扱う
| 進行波 | \(y=f(x-vt)\) は \(+x\) 向きに速さ \(v\) で進む波 ｜ 正弦波 \(y=A\sin(\omega t-kx)\)，\(k=\dfrac{2\pi}\lambda,\ \omega=2\pi f,\ v=\dfrac\omega k\) |
|---|---|
| 媒質の速度 | \(\dfrac{\partial y}{\partial t}=-v\dfrac{\partial y}{\partial x}\)：波形の傾きの逆符号×\(v\) → 各点の媒質の動く向きがすぐわかる |
| 定常波・うなり | \(\sin(\omega t-kx)+\sin(\omega t+kx)=2\cos kx\sin\omega t\)：節は \(\cos kx=0\)，間隔 \(\frac\lambda2\) \(\sin\omega_1t+\sin\omega_2t=2\cos\frac{\omega_1-\omega_2}2t\,\sin\frac{\omega_1+\omega_2}2t\) → 強弱の周期から \(f=|f_1-f_2|\) |
| ドップラーの導出 | 音源が1周期 \(T\) で出す波の長さ：\(\lambda'=(V-v_s)T\) 観測者が単位時間に受ける波の数：\(f'=\dfrac{V-v_o}{\lambda'}=\dfrac{V-v_o}{V-v_s}f\) |
| 干渉は位相差で | 位相差 \(\Delta\phi=\dfrac{2\pi}{\lambda}\times(\text{光路差})+(\text{反射による}\ \pi)\) → \(\Delta\phi=2m\pi\) で強め 光路長 \(=nL\)（媒質中は \(\lambda/n\) なので） |
| 回折格子を複素数で | 隣との位相差 \(\delta=\frac{2\pi}\lambda d\sin\theta\)，\(N\) 本の合成 \(\sum e^{ik\delta}\) が最大 ⇔ \(\delta=2m\pi\) ⇔ \(d\sin\theta=m\lambda\) \(N\) が大きいほど明線が鋭い |
微積電磁気を微積分で導出
| 電場と電位 | \(E=-\dfrac{dV}{dx}\)，\(V=-\displaystyle\int E\,dx\) ｜ 点電荷 \(V(r)=\displaystyle\int_r^\infty\frac{kQ}{r^2}dr=\frac{kQ}r\) |
|---|---|
| ガウスの法則 | \(\displaystyle\oint\vec E\cdot d\vec A=\frac{Q}{\varepsilon_0}\) 平行板：\(E=\dfrac{Q}{\varepsilon_0S}\) → \(V=Ed\) → \(C=\dfrac{\varepsilon_0S}d\) ｜ 球：\(E\cdot4\pi r^2=\frac Q{\varepsilon_0}\) → \(E=\dfrac{kQ}{r^2}\) |
| コンデンサーのエネルギー | \(U=\displaystyle\int_0^Q\frac qC\,dq=\frac{Q^2}{2C}\) 極板間の力（\(Q\) 一定）：\(F=-\dfrac{dU}{dx}\)，\(C=\frac{\varepsilon_0S}{x}\) → \(F=\dfrac{Q^2}{2\varepsilon_0S}=\tfrac12QE\)（\(E\) でなく \(\frac12E\) の理由） |
| RC 回路 | 充電：\(R\dfrac{dQ}{dt}+\dfrac QC=E\) → \(Q=CE\left(1-e^{-t/RC}\right)\)，\(I=\dfrac ER e^{-t/RC}\)（時定数 \(RC\)） 放電：\(Q=Q_0e^{-t/RC}\) ｜ 充電時のジュール熱 \(\int RI^2dt=\tfrac12CE^2\)（電池の仕事 \(CE^2\) の半分） |
| RL 回路 | \(L\dfrac{dI}{dt}+RI=E\) → \(I=\dfrac ER\left(1-e^{-Rt/L}\right)\)（時定数 \(L/R\)）｜ \(U=\displaystyle\int LI\,dI=\tfrac12LI^2\) |
| LC 振動 | \(L\dfrac{d^2Q}{dt^2}=-\dfrac QC\) → 単振動と同じ形，\(\omega=\dfrac1{\sqrt{LC}}\) 対応：\(m\leftrightarrow L,\ k\leftrightarrow\frac1C,\ x\leftrightarrow Q,\ v\leftrightarrow I\)（エネルギー \(\tfrac12LI^2+\frac{Q^2}{2C}\) 一定） |
| アンペールの法則 | \(\displaystyle\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0I\)：直線電流 \(B\cdot2\pi r=\mu_0I\) ｜ ソレノイド \(Bl=\mu_0nlI\) → \(B=\mu_0nI\) |
| 電磁誘導 | \(V=-\dfrac{d\Phi}{dt}\) ｜ 導体棒 \(\Phi=Blx\) → \(V=Blv\) ｜ 回転コイル \(\Phi=BS\cos\omega t\) → \(V=BS\omega\sin\omega t\)（交流発電） 棒の運動：\(m\dot v=-\dfrac{B^2l^2}{R}v\) → \(v=v_0e^{-\frac{B^2l^2}{mR}t}\) |
| 交流を複素数で | \(V=V_0e^{i\omega t}\)，インピーダンス \(Z_R=R,\ Z_L=i\omega L,\ Z_C=\dfrac1{i\omega C}=-\dfrac{i}{\omega C}\) \(i=e^{i\pi/2}\) なので L は電圧が電流より \(\frac\pi2\) 進む（電流が遅れる），C は逆 直列 \(Z=R+i\left(\omega L-\frac1{\omega C}\right)\)：\(|Z|\)，\(\tan\phi=\dfrac{\omega L-1/\omega C}{R}\)，共振 ⇔ \(\mathrm{Im}Z=0\) 並列はアドミタンス \(1/Z\) の和。消費電力 \(\overline P=V_eI_e\cos\phi\) |
| 実効値の導出 | \(\overline{V^2}=\dfrac1T\displaystyle\int_0^TV_0^2\sin^2\omega t\,dt=\frac{V_0^2}2\) → \(V_e=\dfrac{V_0}{\sqrt2}\) |
| ローレンツ力を複素数で | \(m\dot{\vec v}=q\vec v\times\vec B\)（\(B\) は \(z\) 方向），\(u=v_x+iv_y\) とおくと \(\dot u=-i\omega u\)，\(\omega=\dfrac{qB}m\) → \(u=u_0e^{-i\omega t}\)：等速円運動。\(\vec E\perp\vec B\) を加えると 速度 \(E/B\) のドリフト＋円運動（サイクロイド） |
物理は記述でも微積分を使った導出で問題ありません。「運動方程式 → 積分 → 保存則」の流れを押さえておけば、公式を忘れてもその場で作れます。
化学
範囲：化学基礎・化学（天然有機化合物・合成高分子化合物を除く）
物質量・結晶
| 物質量 | \(n=\dfrac{m}{M}=\dfrac{N}{6.0\times10^{23}}=\dfrac{V}{22.4\ \text{L}}\)（0℃, \(1.013\times10^5\) Pa） |
|---|---|
| 濃度変換 | モル濃度 mol/L ｜ 質量モル濃度 mol/kg（溶媒1 kg あたり）｜ 1 L の溶液の質量 ＝ 密度 × 1000 |
| 金属結晶 |
体心立方：2個，配位数8，\(\sqrt3a=4r\)，充填率68% 面心立方：4個，配位数12，\(\sqrt2a=4r\)，充填率74% 六方最密：（単位格子）2個，配位数12，充填率74% |
| イオン結晶 | NaCl型：各4個，配位数6 ｜ CsCl型：各1個，配位数8 ｜ 密度 \(=\dfrac{M\times(\text{個数})}{N_A a^3}\) |
| 結合・分子 | 水素結合（F・O・N と H）→ HF, H₂O, NH₃ の沸点が異常に高い 極性分子：H₂O, NH₃, HCl ｜ 無極性：CO₂, CH₄, CCl₄（対称で打ち消す） |
気体
| 状態方程式 | \(pV=nRT\)，\(R=8.3\times10^3\ \text{Pa·L/(K·mol)}\) ｜ 分子量 \(M=\dfrac{wRT}{pV}\) |
|---|---|
| 分圧 | 分圧 ＝ 全圧 × モル分率 ｜ 同温同体積なら分圧比 ＝ 物質量比 |
| 蒸気圧 | 全部気体と仮定して分圧 \(p\) を計算 → \(p>\) 飽和蒸気圧 なら液体あり、分圧＝飽和蒸気圧 水上置換：\(p_\text{気体}=p_\text{大気}-p_{\text{H}_2\text{O}}\) |
| 実在気体 | 低温・高圧で理想気体からずれる（分子間力・分子の体積）｜ \(Z=\dfrac{pV}{nRT}\) |
溶液
| 沸点上昇・凝固点降下 | \(\Delta t=Km\)（\(m\)：質量モル濃度）電解質は粒子数（NaCl ×2，CaCl₂ ×3）で計算 |
|---|---|
| 浸透圧 | \(\Pi V=nRT\)（\(\Pi=cRT\)，\(c\)：モル濃度） |
| ヘンリーの法則 | 一定温度で溶ける気体の物質量（質量）は分圧に比例。溶けた気体のその圧力下での体積は一定 |
| 溶解度 | 溶媒100 g あたりの g 数 ｜ 再結晶：\(\dfrac{\text{析出量}}{\text{飽和溶液量}}\) の比で解く。水和物は水も抜ける |
| 冷却曲線 | 過冷却あり。凝固点は直線部分を左に延長した点。凝固が進むと溶液濃度↑で温度が下がり続ける |
| コロイド | チンダル現象（光の散乱）｜ ブラウン運動（溶媒分子の衝突）｜ 電気泳動 ｜ 透析 凝析：疎水コロイド＋少量の電解質（反対符号で価数大ほど有効）｜ 塩析：親水コロイド＋多量の電解質 保護コロイド：疎水コロイドに親水コロイドを加えて安定化（墨汁のにかわ） |
熱化学（エンタルピー）
| 表し方 | \(\mathrm{H_2(g)+\tfrac12O_2(g)\to H_2O(l)}\quad \Delta H=-286\ \text{kJ}\) 発熱 \(\Delta H<0\)，吸熱 \(\Delta H>0\) 旧課程の「＋Q kJ」と符号が逆 |
|---|---|
| ヘスの法則 | 反応熱は経路によらない → 式を足し引き |
| 生成エンタルピー | \(\Delta H=\sum(\text{生成物の生成}\Delta H)-\sum(\text{反応物の生成}\Delta H)\)（単体は0） |
| 結合エネルギー | \(\Delta H=\sum(\text{反応物の結合E})-\sum(\text{生成物の結合E})\)（気体のみで成立） |
| 比熱による計算 | \(Q=mc\Delta T\)，グラフは直線を外挿して最高温度を求める |
反応速度・化学平衡
| 反応速度 | \(v=k[\mathrm A]^a[\mathrm B]^b\)（次数は実験で決まる）｜ 温度↑・濃度↑・触媒で速くなる 触媒：活性化エネルギーを下げる。平衡定数・反応エンタルピーは変えない |
|---|---|
| 一次反応（微積） | \(-\dfrac{d[\mathrm A]}{dt}=k[\mathrm A]\) → \([\mathrm A]=[\mathrm A]_0e^{-kt}\)，\(\log\dfrac{[\mathrm A]_0}{[\mathrm A]}=kt\)，半減期 \(\dfrac{\log2}{k}\)（濃度によらない） アレニウス \(k=Ae^{-E_a/RT}\)：\(\log k\) と \(\frac1T\) のグラフの傾き \(=-\frac{E_a}R\) |
| 平衡定数 | \(K_c=\dfrac{[\mathrm C]^c[\mathrm D]^d}{[\mathrm A]^a[\mathrm B]^b}\)（温度のみで変わる）｜ \(K_p=K_c(RT)^{\Delta n}\) 固体・溶媒の水は式に入れない |
| ルシャトリエ | 変化を打ち消す向きに平衡移動。加熱 → 吸熱方向 ｜ 加圧 → 分子数減少方向 体積一定で貴ガス追加 → 移動しない ／ 全圧一定で追加 → 分子数増加方向 |
| 電離平衡 | 弱酸：\(\alpha=\sqrt{\dfrac{K_a}{c}}\)，\([\mathrm{H^+}]=\sqrt{cK_a}\) ｜ 弱塩基も同様（\(K_b\)） |
| 緩衝液 | 弱酸＋その塩：\([\mathrm{H^+}]=K_a\dfrac{[\mathrm{HA}]}{[\mathrm{A^-}]}\) |
| 溶解度積 | \([\mathrm{Ag^+}][\mathrm{Cl^-}]>K_{sp}\) → 沈殿生成 ｜ 共通イオン効果で溶解度↓ |
酸・塩基・pH
| pH | \(\mathrm{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H^+}]\) ｜ \(K_w=[\mathrm{H^+}][\mathrm{OH^-}]=1.0\times10^{-14}\)（25℃）｜ pH＋pOH＝14 |
|---|---|
| 中和 | \(a\,c\,V=b\,c'V'\)（価数×モル濃度×体積） 指示薬：弱酸×強塩基 → フェノールフタレイン（塩基性側）｜ 強酸×弱塩基 → メチルオレンジ（酸性側） |
| 塩の液性 | 強酸＋弱塩基の塩（NH₄Cl）→ 酸性 ｜ 弱酸＋強塩基の塩（CH₃COONa, NaHCO₃）→ 塩基性 NaHSO₄ → 酸性 |
| 二段階中和 | Na₂CO₃ + HCl：第1中和点（フェノールフタレイン）で NaHCO₃，第2中和点（メチルオレンジ）で CO₂ |
| 弱酸遊離 | 強い酸 ＋ 弱い酸の塩 → 弱い酸が遊離（CH₃COONa＋HCl → CH₃COOH） |
酸化還元・電池・電気分解
| 酸化数 | 酸化＝酸化数増加（電子を失う）｜ H は+1，O は−2（H₂O₂中は−1），単体は0 |
|---|---|
| 主な半反応式 |
\(\mathrm{MnO_4^-+8H^++5e^-\to Mn^{2+}+4H_2O}\) \(\mathrm{Cr_2O_7^{2-}+14H^++6e^-\to 2Cr^{3+}+7H_2O}\) \(\mathrm{H_2O_2+2H^++2e^-\to 2H_2O}\)（酸化剤）／ \(\mathrm{H_2O_2\to O_2+2H^++2e^-}\)（還元剤） \(\mathrm{SO_2+4H^++4e^-\to S+2H_2O}\)（酸化剤）／ \(\mathrm{SO_2+2H_2O\to SO_4^{2-}+4H^++2e^-}\)（還元剤） |
| イオン化傾向 | Li K Ca Na Mg Al Zn Fe Ni Sn Pb (H₂) Cu Hg Ag Pt Au （リッチに貸そうかな、まああてにすんな、ひどすぎる借金） |
| ダニエル電池 | (−) Zn | ZnSO₄aq | CuSO₄aq | Cu (+) ｜ 負極で酸化，正極で還元 |
| 鉛蓄電池 | (−) Pb | H₂SO₄aq | PbO₂ (+) 放電で両極とも PbSO₄ e⁻ 2 mol あたり：負極 +96 g，正極 +64 g，H₂SO₄ 2 mol 消費・H₂O 2 mol 生成 |
| 燃料電池 | リン酸型：(−) \(\mathrm{H_2\to 2H^++2e^-}\) (+) \(\mathrm{O_2+4H^++4e^-\to 2H_2O}\) |
| 電気分解 |
陰極：Cu²⁺, Ag⁺ → 金属析出 ｜ K〜Al のイオン → H₂O が還元され H₂（酸性なら H⁺→H₂） 陽極：Cl⁻ → Cl₂ ｜ SO₄²⁻, NO₃⁻ → H₂O が酸化され O₂（塩基性なら OH⁻→O₂） 陽極が Cu, Ag などの金属なら電極自身が溶ける（Pt, C は溶けない） |
| ファラデー | \(F=9.65\times10^4\) C/mol ｜ 電気量 \(Q=It\) → e⁻ の物質量 \(=\dfrac{It}{F}\) |
無機：色・沈殿・錯イオン
| 炎色反応 | Li 赤 ｜ Na 黄 ｜ K 赤紫 ｜ Ca 橙赤 ｜ Sr 紅 ｜ Ba 黄緑 ｜ Cu 青緑 （リアカー無きK村、動力借るとするもくれない馬力） |
|---|---|
| ハロゲン化銀 | AgCl 白（NH₃水に溶ける）｜ AgBr 淡黄 ｜ AgI 黄 ｜ AgF は水に溶ける Ag₂O 褐 ｜ Ag₂CrO₄ 赤褐 ｜ PbCl₂ 白（熱水に溶ける）｜ PbCrO₄ 黄 ｜ BaCrO₄ 黄 |
| 硫化物 | 黒：CuS, PbS, Ag₂S, HgS, FeS, NiS ｜ 白：ZnS ｜ 黄：CdS ｜ 淡赤：MnS 酸性でも沈殿：Cu, Pb, Ag, Hg, Cd, Sn（イオン化傾向小）｜ 中性・塩基性のみ：Zn, Fe, Ni, Mn |
| 水酸化物 | Cu(OH)₂ 青白 ｜ Fe(OH)₃ 赤褐 ｜ Fe(OH)₂ 緑白 ｜ Al(OH)₃・Zn(OH)₂ 白 硫酸塩・炭酸塩の沈殿：BaSO₄, PbSO₄, CaSO₄（白）｜ CaCO₃, BaCO₃（白） |
| 両性金属 | Al, Zn, Sn, Pb（ああすんなり）→ 過剰の NaOH に溶ける：[Al(OH)₄]⁻, [Zn(OH)₄]²⁻ |
| 過剰の NH₃ に溶ける | Ag, Cu, Zn, Ni：[Ag(NH₃)₂]⁺ 無色 ｜ [Cu(NH₃)₄]²⁺ 深青 ｜ [Zn(NH₃)₄]²⁺ 無色 ｜ [Ni(NH₃)₆]²⁺ 青紫 Al(OH)₃ は NH₃ 水に溶けない（Zn と区別） |
| イオンの色 | Cu²⁺ 青 ｜ Fe²⁺ 淡緑 ｜ Fe³⁺ 黄褐 ｜ Ni²⁺ 緑 ｜ MnO₄⁻ 赤紫 ｜ Mn²⁺ 淡桃 ｜ CrO₄²⁻ 黄 ｜ Cr₂O₇²⁻ 橙 |
| Fe の検出 | Fe²⁺ + K₃[Fe(CN)₆] → 濃青 ｜ Fe³⁺ + K₄[Fe(CN)₆] → 濃青 ｜ Fe³⁺ + KSCN → 血赤色 |
| 系統分析 | ① HCl → AgCl, PbCl₂ ② 酸性で H₂S → CuS, CdS 等 ③ 煮沸（H₂S 除去）＋HNO₃（Fe²⁺→Fe³⁺）→ NH₃ → Fe(OH)₃, Al(OH)₃ ④ 塩基性で H₂S → ZnS, MnS, NiS ⑤ (NH₄)₂CO₃ → CaCO₃, BaCO₃ ⑥ 残り Na⁺, K⁺ は炎色反応 |
無機：気体の製法・性質・工業的製法
| 気体 | 製法と性質 |
|---|---|
| O₂ | 2H₂O₂ → 2H₂O + O₂（MnO₂ 触媒）｜ 2KClO₃ → 2KCl + 3O₂（MnO₂，加熱）｜ 水上置換 |
| Cl₂ | MnO₂ + 4HCl → MnCl₂ + Cl₂ + 2H₂O（加熱）→ 水（HCl 除去）→ 濃硫酸（乾燥）の順 ｜ 下方置換 さらし粉 CaCl(ClO)·H₂O + 2HCl でも発生（加熱不要） |
| HCl | NaCl + H₂SO₄(濃) → NaHSO₄ + HCl（加熱，揮発性の酸の遊離）｜ NH₃ と白煙 |
| NH₃ | 2NH₄Cl + Ca(OH)₂ → CaCl₂ + 2H₂O + 2NH₃（加熱）｜ 上方置換 ｜ 乾燥はソーダ石灰 NH₃ に濃硫酸・CaCl₂ は使えない |
| CO₂ / H₂S / H₂ | CaCO₃ + 2HCl ｜ FeS + H₂SO₄(希)（H₂S は還元性・有毒・腐卵臭）｜ Zn + H₂SO₄(希) |
| SO₂ | Cu + 2H₂SO₄(熱濃) → CuSO₄ + SO₂ + 2H₂O ｜ Na₂SO₃ + H₂SO₄ |
| NO / NO₂ | 3Cu + 8HNO₃(希) → … + 2NO（水上置換）｜ Cu + 4HNO₃(濃) → … + 2NO₂（赤褐色，下方置換） |
| 乾燥剤の注意 | 酸性気体（Cl₂, HCl, CO₂, SO₂, H₂S）に塩基性乾燥剤（ソーダ石灰・CaO）不可 H₂S に濃硫酸不可（酸化される） |
| 不動態 | Fe, Ni, Al は濃硝酸で不動態 |
| 工業的製法 |
ハーバー・ボッシュ法：N₂ + 3H₂ ⇄ 2NH₃（Fe₃O₄ 触媒） オストワルト法：NH₃ → NO → NO₂ → HNO₃（Pt 触媒），全体 NH₃ + 2O₂ → HNO₃ + H₂O 接触法：SO₂ → SO₃（V₂O₅ 触媒）→ 濃硫酸に吸収して発煙硫酸 → 希釈 アンモニアソーダ法：NaCl + H₂O + NH₃ + CO₂ → NaHCO₃↓ + NH₄Cl → 2NaHCO₃ → Na₂CO₃ Al：ボーキサイト → アルミナ → 氷晶石を加えて溶融塩電解 ｜ Cu：電解精錬（陽極泥に Ag, Au） Fe：溶鉱炉で CO により還元 → 銑鉄 → 転炉で鋼 |
有機：基本・異性体・分析
| 元素分析 | C の質量 ＝ CO₂ × \(\dfrac{12}{44}\) ｜ H の質量 ＝ H₂O × \(\dfrac{2}{18}\) ｜ O は差し引き 吸収順：塩化カルシウム（H₂O）→ ソーダ石灰（CO₂） 逆にするとソーダ石灰が両方吸収 |
|---|---|
| 不飽和度 | \(\dfrac{2C+2-H}{2}\)（N は H を1減らす，ハロゲンは H として数える）｜ ベンゼン環 = 4 |
| 異性体 | 構造異性体 ｜ シス-トランス（C=C の両端にそれぞれ異なる基）｜ 鏡像異性体（不斉炭素：4つの異なる基） |
| 官能基の検出 |
Na と反応して H₂：-OH（アルコール・フェノール・カルボン酸） 銀鏡・フェーリング：-CHO（アルデヒド，ギ酸も） ヨードホルム反応（黄 CHI₃）：CH₃CO-R，CH₃CH(OH)-R（エタノール・アセトン・2-プロパノール） NaHCO₃ で CO₂：-COOH（フェノールは不可）｜ FeCl₃ で紫：フェノール性 OH 臭素水の脱色：C=C, C≡C |
有機：脂肪族
| アルカン | 光で塩素と置換反応 ｜ 化学的に安定 |
|---|---|
| アルケン | 付加反応（H₂, Br₂, HX, H₂O）｜ マルコフニコフ則：H は H の多い C へ エチレンの製法：エタノール＋濃硫酸 160〜170℃（130℃ ではジエチルエーテル） |
| アセチレン | CaC₂ + 2H₂O → C₂H₂ + Ca(OH)₂ ｜ 付加：HCl→塩化ビニル，CH₃COOH→酢酸ビニル，H₂O→（ビニルアルコール→）アセトアルデヒド 3分子重合 → ベンゼン |
| アルコールの酸化 | 第一級 → アルデヒド → カルボン酸 ｜ 第二級 → ケトン ｜ 第三級 → 酸化されにくい メタノール → ホルムアルデヒド → ギ酸 |
| カルボン酸 | ギ酸：還元性あり（-CHO をもつ）｜ 酢酸：2分子脱水で無水酢酸 マレイン酸（シス，加熱で無水物）／ フマル酸（トランス） 乳酸 CH₃CH(OH)COOH：不斉炭素あり |
| エステル | カルボン酸＋アルコール（濃硫酸，加熱）⇄ エステル＋水 ｜ けん化：NaOH で加水分解（不可逆） 油脂のけん化 → セッケン（弱酸＋強塩基の塩なので水溶液は弱塩基性，硬水で沈殿） |
有機：芳香族
| ベンゼンの置換 | ハロゲン化（Fe 触媒）｜ ニトロ化（濃硝酸＋濃硫酸）→ ニトロベンゼン ｜ スルホン化（濃硫酸）→ ベンゼンスルホン酸 付加は起こりにくい（H₂/Ni 高温高圧 → シクロヘキサン，Cl₂/光 → ヘキサクロロシクロヘキサン） |
|---|---|
| フェノール | 製法：クメン法（ベンゼン＋プロペン → クメン → 酸化 → フェノール＋アセトン） 他：ベンゼンスルホン酸ナトリウムのアルカリ融解，クロロベンゼン＋NaOH（高温高圧） 臭素水で 2,4,6-トリブロモフェノール（白沈）｜ FeCl₃ で紫 ｜ 炭酸より弱い酸 |
| サリチル酸 | ナトリウムフェノキシド＋CO₂（高温高圧）→ サリチル酸ナトリウム → 酸で遊離 ＋無水酢酸 → アセチルサリチル酸（解熱鎮痛，FeCl₃ 呈色しない） ＋メタノール（濃硫酸）→ サリチル酸メチル（消炎，FeCl₃ 呈色する） |
| アニリン | ニトロベンゼン＋Sn, HCl → アニリン塩酸塩 → NaOH でアニリン遊離 さらし粉水溶液で赤紫 ｜ 二クロム酸カリウムでアニリンブラック ｜ 無水酢酸でアセトアニリド（アミド結合） |
| ジアゾ化・カップリング | アニリン＋NaNO₂＋HCl（5℃以下）→ 塩化ベンゼンジアゾニウム （温めると分解してフェノール＋N₂）＋ナトリウムフェノキシド → p-ヒドロキシアゾベンゼン（橙赤） |
| 側鎖の酸化 | KMnO₄ でベンゼン環に直結した炭素 → -COOH（トルエン → 安息香酸） o-キシレン → フタル酸 → 加熱で無水フタル酸 ｜ p-キシレン → テレフタル酸 |
| 酸の強さ | 塩酸・スルホン酸 ＞ カルボン酸 ＞ 炭酸 ＞ フェノール |
| 抽出分離 | エーテル溶液に ・HCl → アニリンが塩となり水層へ ・NaHCO₃ → カルボン酸（安息香酸など）のみ水層へ ・NaOH → フェノールも水層へ ・中性物質（ニトロベンゼン，トルエン）はエーテル層に残る 水層から戻す：塩酸（酸性物質）／ NaOH（アニリン）→ エーテル抽出 |